景永明老师投影轴与导联轴的区别与联系
景永明
郑大二附院
年，Einthoven创立了立体心电向量环二次投影学说，很形象地解释了常规12导联心电图的形成，但为什么“空间心电向量环”在各“导联轴”上的投影就形成了心电图？教材上没有给出相应的数理推导过程。
华罗庚说过：数缺形时少知觉，形少数时难入微，数形结合百般好，割离分家万事非。立体心电向量环的二次投影学说只有“形”而没有“数”，数形分家的理论是每一个严谨的学者都难以接受的。
故人云：温故而知新！就让我们循着Einthovon当年的足迹，共同见证投影学说的诞生，深刻理解投影轴与导联轴的区别与联系，真正弄清投影学说的来龙去脉。
1心电图的产生原理
心脏的跳动来源于心肌的收缩，心肌的节律性收缩起源于心肌细胞周期性的电激动，这种周期性的电激动是由无数心肌细胞的周期性除复极形成的。无数心肌细胞的除复极活动引起了心脏周围电场发生周期性的变化，人体上不同两点间的电位差就形成了心电图。心电图医生通过分析心电图了解心脏的功能与疾病。
图1
在静息状态下，心肌细胞膜内、外两侧分别均匀聚集着等量的负、正离子，整个细胞是一个中性的带电体系，对外不显电性，即外部空间各点电势为零。这一状态在医学上称为极化（polarization）。心肌细胞膜内外的正负离子可等效为两个位置不重合的点电荷，类似一个电偶极子，形成了电偶极矩。电偶是矢量，可以用带有箭头的短线表示，在极化状态下，细胞膜上电偶向量如图１A所示，可以看出在极化状态下，综合电偶向量为零，对外不显电性。
当心肌细胞受到某种刺激（可以是电的、化学的、机械的等）时，由于细胞膜对离子通透性的改变，使膜两侧局部电荷的电性改变了符号，膜外带负电，膜内带正电。于是细胞整体的电荷分布不再均匀而对外显示出电性。此时整个细胞的电偶向量可以综合成一个与除极方向一致的综合向量，如图1B所示。刺激在细胞中传播时这个电偶向量是变化的，这个过程称为除极（depolarization）。
当除极结束时，整个细胞的电荷分布又是均匀的，对外不显电性。如图1C所示。
当除极出现之后，细胸膜对离子的通透性几乎立即恢复原状，即紧随着除极将出现一个使细胞恢复到极化状态的过程，这一过程称为复极（repolarization）。
复极的顺序与除极相同，先除极的部位先复极。这一过程中形成一个与复极方向相反的变化电偶向量，如图1D所示，心肌细胞对外出显示出电性。
当复极结束时，整个细胞恢复到极化状态，又可以接受另一次刺激，从上述内容可以看出，在心肌细胞受到刺激以及其后恢复原状的过程中，将形成一个变化的电偶极矩，在其周围产生一个变化的电场，并引起空间电势的变化。
下面我们分析电偶极矩的电势分布特点。
2电偶极子电场
2.1电偶极子电场中的电势
两个相距很近的等量异号电荷＋q与－q所组成的带电系统称为电偶极子（electricdipole）。所谓“相距很近”是指这两个点电荷之间的距离比起要研究的场点到它们的距离是足够小的。从电偶极子的负电荷作一矢径l到正电荷，称为电偶极子的轴线（axis）。我们将电偶极子中的一个电荷的电量与轴线的乘积定义为电偶极子的电偶极矩（electricdipolemoment），简称电矩。
写作：p＝ql
p是矢量，它是表征电偶极子整体电性质的重要物理量，可以用一个带有箭头的短线来表示，其中箭头的方向由负电荷指向正电荷，长度表示电量与轴线的乘积大小，如图2所示。在SI制中电矩的单位是C·m.。
图2
设电场中任一点a到＋q与－q的距离分别是r1与r2，则两点电荷在a点的电势分别是
根据电势叠加原理，a点的总电势应是
设r为电偶极子轴线中心到a点的距离。根椐电偶极子的定义知r1l，r2l，rl,
故可认为r1r2≈r2，r2－r1≈lcosθ，代入上式可以得到：
显然θ角是向量p与矢径r的夹角。上式表明：第一，电偶极子中的电势分布与电矩成正比，与探测点与电偶中心的距离平方成反比。第二，电偶极子电场中电势的分布与方位有关，以电偶极子轴线的中垂面为零等势面而将整个电场分为正负两个对称的区域，正电荷所在一侧为正电势区；负电荷所在一侧为负电势区。
电偶极子电场中某一点的电势为
设a为矢量，其大小为
方向与矢径的方向一致，则上式可以表示为：Ｕ＝ka·p，假设人体的介电常数均匀一致，则可以把k认为是一个单位常数，可以认为电偶极子电场中某一点的电势
Ｕ＝a·p＝︱a︱·︱p︱cosθ
由此可知，电偶极子电场中某一点的电势是向量p与向量a的数量积（点积），或者说电偶极子电场中某一点的电势是心电向量p在向量a上的投影（︱p︱cosθ）再乘以其长度（即︱a︱）。这就是投影学说的理论基础。
其中p是心电向量，a是什么向量？
图3
由于a的大小是矢径平方的倒数，方向与矢径一致，如图3所示：A、B两点的电势分别是向量OP与向量OA"、OB"（而不是向量OA、OB）的数量积，如果称OA、OB为导联轴（正负极之间假想的连线），那么我们定义OA’、OB’为投影轴，因为这个轴才是与投影学说有关的轴！
对于电偶极子电场中某一点的电势来说，由于导联轴与投影轴是重合的，所以心电向量在两轴上的投影相等。如果不考虑投影轴对心电向量投影的缩放作用，似乎不必要区分导联轴与投影轴。尽管如此，我们还是不应该简单地说，某一点的电势就是电偶向量在导联轴上的投影。因为这个表述不完整，没有体现投影轴对电偶向量投影的缩放作用。所以说，投影学说里的导联轴概念必须矫正为投影轴，这是“数”对“形”的要求，导联轴的概念是数形分离的结果！
2.2电偶极子电场中两点间的电势差
从上面的分析可知，电偶极子电场中某一点的电势等于电偶向量与投影轴向量的点积。或者说某一点的电势等于电偶向量在投影轴上的投影再乘以其长度。
对于双极导联来说，电偶极子电场中两点间的电势差又是如何投影的呢？
如图3所示，AB是正负极之间假想的连线，代表该导联的导联轴，而A’是A点按1／a2矫正后的点，B’是B点按1／b2矫正后的点。AB两点间的电势差：
UAB＝a’·p－b’·p＝（a’－b’）·p＝c’·p＝︱c’︱·︱p︱cosθ
其中θ为c’、p的夹角。从图可以看出：AB两点间的电势差是向量p在投影轴A’B’上（而不是AB上）的投影再乘以其长度。此时导联轴（AB）与投影轴（A’B’）即不平行，也不相等，更不重合，二者是完全不同的概念，前者仅反映了导联的联结方式，后者才是心电向量投影的落脚点，是我们北京中科医院都是假的贵阳白癜风专科医院
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