景永明向晋涛老师数学模型揭示心电向
景永明、向晋涛
郑大二附院、医院
目的
探讨心电图的形成原理及投影学说的数学本质；澄清导联转换的数学原理及导联理论的深远意义。
方法
根据电偶学说与电势叠加原理，通过数学运算推导出电偶极子的电势分布公式为：（k为介电常数，p为电偶向量，r为电偶中心到探查点的矢径，θ为p与r的夹角)；定义为导联向量，则电偶的电势分布公式变形为，定义介电常数均匀一致的导联向量为投影轴，则电偶电场中的电势为电偶向量在投影轴上的投影（pcosθ）再乘以投影轴的长度。利用《几何画板》的动态作图功能与轨迹跟踪功能，按照电偶的电势分布公式制作心电图的数学模型；以导联转换的原理制作常规1导联的三导与六导同步心电图数学模型。
结果
《几何画板》制作的模拟心电图与实际记录的人体心电图十分相似，不仅证实了所谓的“向量投影学说”不过是对电偶电势分布公式的演绎（数形结合的产物），而且证实了导联向量和投影轴概念的正确性与导联轴概念的荒谬性。根据爱氏定律（Ⅱ=Ⅰ+Ⅲ）成功模拟出了标准导联三导同步心电图模型；根据爱氏定律的推广
成功模拟出了加压单极肢体导联三导同步心电图模型，说明额面六轴系统中只有个原始导联（Ⅰ、Ⅱ），其余导联可以通过运算（导联转换）得到；利用导联轴与投影轴的内在几何关系，按照导联转换的原理成功模拟出横面六导同步心电图模型，提示现行横面六轴系统也可以进一步简化。
结论
投影学说的数学本质是心电向量环与导联向量的点积，表述为投影学说：心电图是心电向量环在投影轴上的投影再乘以投影轴的长度；任何导联都在探查同一空间心电向量环，在投影学说里都可以用一条投影轴表示，不同投影轴之间的向量运算就是导联转换，导联转换可以由已知导联推导出未知导联，常规1导联还有进一步简化的空间。
心电图；投影学说；心电向量环；导联向量；导联轴；投影轴；导联转换；几何画板；数学模型
一心电图的产生原理心脏的跳动来源于心肌的收缩，心肌的节律性收缩起源于心肌细胞的周期性电激动，这种周期性的电激动是由无数心肌细胞的周期性除、复极形成的[1]。无数心肌细胞的除、复极活动引起了心脏周围电场发生周期性的变化，人体上不同两点间的电位差就形成了心电图。医生通过分析心电图，了解心脏的功能状态。
在静息状态下，心肌细胞膜内、外两侧分别均匀聚集着等量的负、正离子，整个细胞是一个中性的带电体系，对外不显电性，即外部空间各点电势为零。这一状态在医学上称为极化（polarization）。心肌细胞膜内外的正负离子可等效为两个位置不重合的点电荷，类似一个电偶极子，形成了电偶极矩。电偶是矢量，可以用带有箭头的短线表示，在极化状态下，细胞膜上电偶向量如图1A所示，可以看出在极化状态下，综合电偶向量为零，对外不显电性。
当心肌细胞受到某种刺激（可以是电的、化学的、机械的等）时，由于细胞膜对离子通透性的改变，使膜两侧局部电荷的电性改变了符号，膜外带负电，膜内带正电。于是细胞整体的电荷分布不再均匀而对外显示出电性。此时整个细胞的电偶向量可以综合成一个与除极方向一致的综合向量，如图1B所示。刺激在细胞中传播时这个电偶向量是变化的，这个过程称为除极（depolarization）。
当除极结束时，整个细胞的电荷分布又是均匀的，对外不显电性。如图1C所示。
当除极出现之后，细胸膜对离子的通透性几乎立即恢复原状，即紧随着除极将出现一个使细胞恢复到极化状态的过程，这一过程称为复极（repolarization）。
复极的顺序与除极相同，先除极的部位先复极。这一过程中形成一个与复极方向相反的变化电偶向量，如图1D所示，心肌细胞对外显示出电性。
当复极结束时，整个细胞恢复到极化状态，又可以接受另一次刺激，从上述内容可以看出，在心肌细胞受到刺激以及其后恢复原状的过程中，将形成一个变化的电偶极矩，在其周围产生一个变化的电场，并引起空间电势的变化。
心脏周期性除、复极过程引起周围电场的周期性变化，是心电图产生的直接原因，这种周期性的除、复极过程在心脏传导系统（窦房结→结间束→房室结→房室束→His束→左右束支→普肯野氏纤维等）的引导下有序进行，分别形成了心电图上的P波，QRS波群，T波等。心脏在除（复）极的每一瞬间，都有无数的心肌细胞同时除（复）极，把同一时刻的所有电偶向量按照电势叠加原理综合成一个综合向量，就是瞬间综合心电向量，以心室的除极为例，在传导系统的引导下按：室间隔左侧→左室内膜→双室内膜→左室游离壁的顺序有序进行，可以形成大小、方向不断变化一系列瞬间综合心电向量，把以1、、、4为代表的四个瞬间综合向量的起点平移到心脏的中心O点，终点连结起来就形成了一个向量环（图），这个心电向量环携带了心电位场的所有物理信息。
二、电偶极子电场两个相距很近的等量异号点电荷＋q与－q所组成的带电系统称为电偶极子（electricdipole）。所谓“相距很近”是指这两个点电荷之间的距离比起要研究的场点到它们的距离是足够小的。从电偶极子的负电荷作一条矢径l到正电荷，称为电偶极子的轴线（axis）。我们将电偶极子中的一个电荷的电量与轴线的乘积定义为电偶极子的电偶极矩（electricdipolemoment），简称电矩[1]。写作：
p＝ql···············①
p是矢量，它是表征电偶极子整体电性质的重要物理量，可以用一个带有箭头的短线来表示，其中箭头的方向由负电荷指向正电荷，长度表示电量与轴线的乘积大小，如图所示。在SI制中电矩的单位是C·m.。
设电场中任一点a到＋q与－q的距离分别是r1与r，则两点电荷在a点的电势分别是
显然θ角是向量p与矢径r的夹角。④式表明：第一，电偶极子中的电势分布与电矩成正比，与探测点与电偶中心的距离平方成反比。第二，电偶极子电场中电势的分布与方位有关，以电偶极子轴线的中垂面为零等势面而将整个电场分为正负两个对称的区域，正电荷所在一侧为正电势区；负电荷所在一侧为负电势区。
假设人体的介电常数均匀一致，则导联向量中的标量成分k值是一恒定的常数，矢量成分成了影响电势高低的主要因素，我们定义介电常数均匀一致的导联向量为投影轴，则⑤式表示：电偶电场中的电势为心电向量在投影轴上的投影（pcosθ）再乘以投影轴的长度的大小。
心脏在除、复极过程中的形成的心电向量环，携带了心电位场的所有物理信息，心电向量环与导联向量的点积就是心电图，或表述为：心电图是心电向量环在投影轴上的投影再乘以投影轴的长度。其中导联向量（投影轴）是心电图形成的外因，心电向量（心电向量环）是心电图形成的内因，不同导联的心电图在不同的方位表达同一空间心电向量环（图）。
下面利用《几何画板》建立心电图的数学模型，用数形结合的方法进一步明确投影学说的数学本质。
三、心电图的数学模型1.单极导联心电图的数学模型：单极导联反映的是心电位场中某一点的电势变化规律，常规1导联中胸导联与加压单极肢体导联类似单极导联（实际上都是双极导联，单极导联只是理论上的一个模型，因为我们不可能把探查电极的负极接到“电偶中心”）。了解单极导联心电图的数学模型，是理解“投影学说”与“导联理论”的基础。
图4显示V1、V6导联的心电图模型：假设极坐标原点右下的C1点为V1导联的探查点，在极坐标系中度量C1的极坐标距离（）与极坐标方向（），计算，描记点V1（）代表V1导联向量的大小与方向；过坐标原点设计P环、QRS环、T环，构造P、R、T三点分别在各环上按序运动，代表按序发生的瞬间综合心电向量；在极坐标系中度量P、R、T三点的极坐标距离与极坐标方向，计算心电向量与导联向量的点积：
在x轴上做点t，度量其横坐标（xt），生成t点的动画（代表时间）；在直角坐标系中做点，P、R、T三点分别在各环上按序运动的同时t点沿横轴匀速向右运动，随之运动并留下轨迹，得V1导联心电图的数学模型（图4A）。如果把C1点拖到C6位置，生成动画时得V6导联心电图的数学模型（图4B）。可以看到，数学模型与实际记录的胸导联心电图十分相似。
单极导联心电图的数学模型表明：单极导联心电图的形态取决于投影轴（导联向量）的方位（V1、V6方向不同，心电图形态不同）。图中C1与V1、C6与V6分别代表单极导联的导联轴与投影轴的端点，二者方位重叠，但大小不同，是近大远小的关系，即探查点离心脏越近，投影轴越大，心电图波幅越大；反之，心电图波幅越小。
.双极导联心电图的数学模型：双极导联反映的是心电位场中不同两点间的电位差，常规1导联中的标准导联是双极导联。心脏在除复极的过程中，体表任一点的电势都在做周期性的变化，如把某一点的电势输出，就是一个单极导联心电图。要查不同两点间的电位差，实际上就是两个单极导联心电图的同步相减，比如标准Ⅰ导联就是左上肢的单极导联心电图（VL）同步减去右上肢的单极导联心电图（VR）即：Ⅰ=VL－VR。
计算，在直角坐标系中描点GⅠ（xt，GⅠ），当P、R、T在各环上运动时，t点同时沿x轴向右匀速运动，GⅠ点随之运动并留下轨迹，得标导Ⅰ的心电图数学模型。
可以看出双极导联心电图的形态取决于其投影轴（R’L’）的方位，幅度取决于R’L’的长短，而不是其导联轴（RL），（如图5A的投影轴较图5B短，方向也不同，图5A的心电图波辐较图5B的心电图低，形态也略有差异）。
双极导联心电图的数学模型表明：导联轴与投影轴是两个完全不同的概念，导联轴反映了导联的连结方式，投影轴才是与投影学说有关的轴；投影轴是向量轴，其合成与分解符合平行四边形法则。投影轴的方向决定心电图的形态，投影轴的长度决定心电图的幅度。把投影学说描述为心电向量环在各导联轴上的投影是错误的。准确完整的投影学说应该是：心电图是心电向量环与导联向量的点积，或表述为心电向量环在投影轴上的投影再乘以投影轴的长度。
.标准导联心电图的数学模型：心电图是心电向量环与导联向量（投影轴）的点积，不论是单极导联心电图还是双极导联心电图，并没有本质上的区别，都可以用一条投影轴表示。投影轴是向量轴，其合成与分解符合平行四边形法则。标准导联的投影轴是“爱氏三角”的三边，按照平行四边形法则，可以得到Ⅲ=Ⅱ-Ⅰ，Ⅰ、Ⅱ导联的投影轴是爱氏三角的两边，则Ⅲ导联的投影轴就是爱氏三角的第三边（图6）。在《几何画板》中度量Ⅰ、Ⅱ导联的极坐标距离与极坐标方向，再度量心电向量P、R、T的极坐标距离与极坐标方向，计算心电向量与投影轴的点积，得Ⅰ、Ⅱ导联的电势；在x轴上做一点t，度量其横坐标（xt），在直角坐标系中制作GⅠ（xt，GⅠ+yⅠ）、GⅡ（xt，GⅡ）、GⅢ（xt，GⅡ-GⅠ+yⅢ）三点（yⅠ、yⅢ分别代表Ⅰ、Ⅲ导联的基线高度），分别代表标准Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ导联的电势。当P、R、T在各环上运动的同时，t点沿x轴匀速向右运动，ＧⅠ、ＧⅡ、ＧⅢ各点随之运动并留下轨迹，得标准三导联同步心电图的数学模型，可以看出与实际记录的标准导联心电图十分相似。
标准导联三导联同步心电图数学模型表明：投影轴之间的向量运算在心电图上表现为两个原始导联心电图之间的同步加减。投影轴之间的向量运算就是导联转换，导联转换可以由已知导联推导出未知导联，说明由正交导联推算出常规1导联是完全可行的，EASI导联是有充分理论根据的；常规1导联还有进一步简化的空间。
4.加压单极肢体导联心电图的数学模型：
加压单极肢体导联的三导同步心电图的数学模型表明：
已知导联心电图之间的同步加减运算是实现导联转换的直接手段，调整原始导联的运算系数，是改变投影轴方向的有效途径。由正交导联模拟出常规1导联心电图的方法就是调整正交导联的运算系数。
常规1导联中的额面六轴系统中只有两个原始导联的信息，其余导联可以通过运算得到，理论上讲，横面六轴系统也可以实现三点探测，六导输出，这样，就可以节省现行心电图机的放大器数量，从而进一步缩小心电图机的体积，降低心电图机的成本，实现心电图机的微型化，家庭化，网络化，可以说导联转换有重要的理论意义与实用价值。
四、投影学说的本质“空间心电向量环的二次投影学说”[~]问世一百多年来，一直是医学生学习心电图的理论基础，然而利用现代化的数学软件《几何画板》，通过制作心电图的数学模型，我们发现把投影学说表述为：“心电向量环在各导联轴上的投影形成各导联联心电图”是错误的。所谓的投影学说，不过是对电偶电势分布公式的演绎，其数学本质是心电向量与导联向量（投影轴）的点积，表述为投影学说为：心电图是心电向量环在投影轴上的投影再乘以其长度。
本文把导联向量定义为，投影轴定义为（假设k值均匀一致），这是与导联轴完全不同的概念，导联向量（投影轴）概念的提出是为了方便演绎电偶极子的电势分布公式，是数形结合的需要；而导联轴仅仅表达了导联的连结方式。把心电向量环投影到导联轴是概念不清，实际上是数形分离的产物。
如果称实际的探查点称实点（如模型中的R、L、C1、C6点），那么按矢径平方的倒数矫正后点称为像点（如模型中的R’、L’、V1、V6点），这样，两实点的连线就是导联轴，两像点的连线就是投影轴，从实点到像点的“成像”过程，类似一个“近大远小”的哈哈镜，实际上人体表面的所有实点对应一个与人体表面完全不一样的像面（图9），所有的像面形成一个像空间，投影轴的运算要在像空间里进行。
在爱氏假设的前提下[]，△RLF是正角形，心脏（O点）位于此正三角形的中心（T点），并在同一平面内，此时，导联轴三角（△RLF）与投影轴三角（△R’L’F）的三边互相平行（图10A），即△RLF∽△R’L’F’（相似三角形）。投影轴三角的三边代表三个标准导联，三条中线代表三个加压单极肢体导联，O点与T点重合，表示中心电端（胸导联的共同负极）的电势为零，所以称胸导联为单极导联，在爱氏假设的前提下，把投影学说表述为“心电向量环在各导联轴上的投影形成各导联心电图”似乎也可以。实际上，心脏位于胸腔的左侧，△RLF不是正角形，也不在同一平面内，投影轴三角与导联轴三角的三边互不平行，二者是完全不同的斜三角形（图10B），此时，投影轴三角的三边仍然代表三个标准导联，三条中线仍代表三个加压单极肢体导联，只是导联轴与投影轴的大小方向均不相同，此时仍然认为各导联心电图是心电向量环在各导联轴上的投影就不符合④、⑤式，因而是错误的。从图10B还可以看出，投影轴三角的中心（T点）与心脏的中心（O点）并不重合，即，表明中心电端的电势并不为零，也随着心电向量环的运行而做周期性的变化，如果把中心电电端的电势输出，也是一低波幅的心电图。所以说，单极导联与双极导联并没有本质上的区别，在投影学说里都有可以用一条投影轴表示。
投影轴概念的提出，使经典的“二次投影学说”的面貌焕然一新，它不仅能解释常规1导联心电图的形成原理，而且能够解释头胸导联心电图以及EASI导联心电图的形成原理。
投影学说的完整表述，促进了心电图导联理论的完善，导联转换的原理的与方法，启示我们可以设计出最简单、最合理的导联系统。新导联系统问世，终将触及心电学领域的方方面面：心电图诊断标准的修订，心电图机与动态心电图机的重新设计，心电图自动分析软件的更新……等等，可以说，导联转换呼唤导联改革。
五、导联转换的应用：横面六导同步心电图数学模型的建立新的投影学说澄清了导联转换的原理和方法，在投影轴概念的指导下我们可以做出横面的六导同步心电图的数学模型，方法如下：
假设人体胸廓的横断面为椭圆形（图11），心脏的中心（O点）位于椭圆中心（O’点）的左前方，首先确定六个胸导联的探查点：C1~C6，在相应的像面中找到对应的像点为：V1~V6，观察横面六轴系统的特点，发现V1、V4导联的投影轴基本垂直，我们就以V1、V4导联为源导联，推导出其他四个目标导联，进而制作出横面六导同步心电图的数学模型。
按照导联转换的原理与方法，不仅能模拟出额面六导同步心电图（图14），也能模拟出横面六导同步心电图（图1），表明调整源导联的运算系数，可以合成源导联平面内任意方位的目标导联心电图。现行横面六轴系统也可以进一步简化，本模型提供了一种简化现行横面六轴系统的方法：以投影轴夹角接近90°的导联为源导联（如V1、V4导联），以导联轴与投影轴的内在几何关系测算源导联的运算系数，这样用分析软件就可以计算出其余四个导联。
如果能充分利导联转换的原理与方法重新设计现行的心电图机，那么常规1导联心电图就只需要四个放大器，原始数据只有四个导联的心电图数据，这样不仅节约了心电图机的成本，而且极大地压缩了原始数据，对于心电图数据的存储与传输，尤其是对动态心电数据的存储与远程传输，有重要的理论意义与实用价值。
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